Проекция суммы векторов на ось или направление равна сумме проекций этих векторов на ту же ось. Это фундаментальное свойство линейности операции проектирования.
Содержание
Математическая формулировка
Для любых векторов a и b и произвольной оси l выполняется равенство:
прl(a + b) = прla + прlb
Доказательство свойства
Геометрическое доказательство
- Построим векторы a и b в общей начальной точке
- Найдем их сумму по правилу параллелограмма
- Опустим перпендикуляры из концов всех векторов на ось l
- Проекция суммы будет равна сумме проекций исходных векторов
Аналитическое доказательство
В прямоугольной системе координат проекция вектора на ось вычисляется как:
прla = |a|·cosφ
Тогда для суммы векторов:
прl(a+b) = |a+b|·cosψ = (a+b)·el = a·el + b·el = прla + прlb
Пример вычисления
| Вектор | Координаты | Проекция на ось OX |
| a | (3, 2) | 3 |
| b | (-1, 4) | -1 |
| a + b | (2, 6) | 2 (3 + (-1)) |
Следствия из свойства
- Свойство распространяется на сумму любого числа векторов
- Аналогичное правило действует для разности векторов
- Свойство сохраняется при умножении вектора на скаляр
- Применимо как для плоских, так и для пространственных векторов
Применение в физике
Данное свойство широко используется при:
- Разложении сил на составляющие
- Анализе движения под действием нескольких сил
- Расчете работы переменной силы
- Определении равнодействующей системы сил
Заключение
Свойство проекции суммы векторов является важным инструментом в векторном анализе и находит многочисленные применения в физике, инженерии и компьютерной графике. Оно позволяет упрощать вычисления и анализировать сложные векторные системы.
